Das System wird also nur einmalig (beispielsweise beim Schlagen einer Trommel) oder über einen beschränkten Zeitraum (beispielsweise beim Streichen mit dem Geigenbogen) angeregt. Erzwungene Schwingungen • Schwingf¨ahiges System mit Eigenfrequenz ω0 = p D/M − γ2 wird mit Kraft F0 cos(ωt) angeregt • Bewegungsgleichung: M¨x = −Dx − bx˙ + F0 cos(ωt) • Beispiele: Lautsprecher, Musikinstrumente, Schaukel,... F=F cos t0 ω ω D M Lo¨sung der Bewegungsgleichung: • Setzt sich additiv aus zwei Anteilen zusammen: Erzwungene Schwingungen € F(t)=F 0 ⋅eiω⋅t € x(t)=x 0 ⋅eiω⋅t € −m⋅ω2⋅x 0 ⋅e iω⋅t+i⋅ω⋅2γm⋅x 0 ⋅e iω⋅t+m⋅ω 0 2⋅x 0 ⋅e iω⋅t=F 0 ⋅e iω⋅t € −m⋅ω2⋅x 0 +i⋅ω⋅2γm⋅x 0 +m⋅ω 0 2⋅x 0 =F 0 € x 0 = F 0 m ω 0 2−ω2+i⋅ω⋅2γ Re Im ϕ € x 0 =x 0 ⋅e € iϕ = F 0 m ω 0 (2−ω2) 2 +(2γω)2 ω 0 (2−ω2−i⋅ω⋅2γ) m € F=F 0 ⋅cos(ω⋅t) Krafterregung, Unwuchterregung) ab. Die „Resonanzkatastrophe“ Einschwingvorgang, stationäre Schwingung, allgemeine LösungEingeschwungener Zustand bei sinusförmiger AnregungStationäre und allgemeine Lösung außerhalb der ResonanzEinschwingvorgang, stationäre Schwingung, allgemeine LösungEingeschwungener Zustand bei sinusförmiger AnregungStationäre und allgemeine Lösung außerhalb der Resonanz Die Bewegungsgleichung (in einer Dimension, Bezeichnungen wie oben) ist Abhängig von der Erregerfrequenz \(f\) kann man folgende Extremfälle unterscheiden: \(f \ll {f_0}\): niederfrequenter Bereich. Erreger und Schwinger haben etwa die gleiche Amplitude, d.h. das Amplitudenverhältnis ist ungefähr \(1\). Dynamik des starren Körpers - Lagrange'sche Gleichung Bei sinusförmiger Anregung gelten die für die erzwungene Schwingung oben dargestellten Aussagen, wobei Die Ausschläge werden umso größer, je geringer die Anregungsfrequenz. Im theoretischen Idealfall verschwindender Dämpfung ist Jedoch existiert für sinusförmige periodische Anregung auch hier, sofern Die Amplitude dieser stationären Schwingung ist bei langsamer Anregung Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung heißt (immer unter der Voraussetzung Eine spezielle Lösung, passend zur Anfangsbedingung Demnach wächst bei resonanter Anregung aus der Ruhelage die Amplitude proportional zur Zeit an, theoretisch über alle Grenzen.
Hierbei wird das kurzwellige blaue Lichtspektrum etwa 16-mal stärker gestreut als das rote Licht. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun. Die Phasenverschiebung, auch Phasendifferenz oder Phasenlage, ist ein Begriff der Physik und Technik im Zusammenhang mit periodischen Vorgängen. Ein System mit zwei Freiheitsgraden besitzt zwei Eigenfrequenzen: ω1, ω2. ; Sie entspricht der des harmonischen Oszillators mit Eigenfrequenz Eine periodische Anregung kann z. Ist die Anregung periodisch, geht die erzwungene Schwingung nach einem Einschwingvorgang allmählich in die stationäre erzwungene Schwingung über. Der zweite Term in der Klammer stellt den Einschwingvorgang dar. Jetzt zeigen wir dir die Du kannst dir Inhalte wesentlich einfach merken, wenn du sie sehen und hören kannst? Für die allgemeine Lösung für beliebige Anfangsbedingungen muss zu dieser Formel noch wie oben eine freie Schwingung Auch ohne Rückstellkraft kann ein Körper eine periodische Bewegung ausführen, wenn eine äußere Kraft entsprechend auf ihn einwirkt. War es vorher in Ruhe, wächst die Amplitude zunächst an und kann, wenn die Erregerfrequenz in der Nähe seiner Eigenfrequenz liegt, größere Werte erreichen als bei konstantem Einwirken der maximalen Kraft (siehe Eine Kraft mit anderem Verlauf, auch wenn er nicht periodisch ist, lässt sich durch Addition sinus- (oder cosinus-)förmiger Kräfte verschiedener Erregerfrequenzen darstellen (siehe Bei periodischer Anregung muss der eingeschwungene Zustand eine konstante Amplitude Wie bei der Formel für die komplexe Kraft hat hier nur der Imaginärteil direkte physikalische Bedeutung (der Realteil gehört zum Kraftverlauf entsprechend dem Realteil der komplexen Kraft): Genau dafür ist unser Aufsplitten der Gleichung in ihren Real- und Imaginärteil liefertDie allgemeine Lösung des Systems ergibt sich, indem man dies in den Berechnet man dies und formt die Gleichung nach um, so erhält man die Da physikalisch nur eine reale Geschwindigkeit relevant ist, betrachten wir den Realteil dieser Gleichungkann man bei einer Rotation durch die folgende Gleichung ausdrücken Die Phasenverschiebung ϕ ist unabhängig von der Erregerart. In diesem Fall durchwandert das schwingende System zunächst den sogenannten In der Realität sind zwar die meisten Systeme, die Schwingungen ausführen können nur näherungsweise harmonisch, doch zeigen sie alle die Phänomene der erzwungenen Schwingung in zumindest ähnlicher Weise (siehe Der homogenen Differentialgleichung für einen linear gedämpften Ohne äußere Kraft und Dämpfung würde das System mit seiner Tritt Dämpfung hinzu, kann das System freie gedämpfte Schwingungen mit der Kreisfrequenz Subtrahiert man diese Gleichungen voneinander, ergibt sich wegen der Linearität in Die allgemeinste Form der Bewegung ist durch eine Superposition von stationärer Lösung Das System wird durch eine sinusförmig periodische Kraft, die auf die Masse wirkt, angeregt. Bei einer gedämpften erzwungenen Schwingung hängt die Vergrößerungsfunktion V von der Art der Erregung (z.B.



Bei der stationären erzwungenen Schwingung vollführt der Oszillator eine periodische Schwingung, … Konkret: wenn eine Tasse auf dem Tablett ins Rutschen kommt und man sie durch entgegengesetzte Neigung zur Ruhe bringen will, oder wenn auf einem schwankenden Schiff die Decksladung sich losgerissen hat, oder wenn bei einem Geduldsspiel allein durch Neigen der Spielfläche Kugeln in eine Vertiefung zu dirigieren sind.


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